求傅里叶反变换
1、采样数据导入Matlab 。
采样数据的导入至少有三种方法。
第一就是手动将数据整理成Matlab支持的格式,这种方法仅适用于数据量比较小的采样。
第二种方法是使用Matlab的可视化交互操作,具体操作步骤为:File -->Import Data,然后在弹出的对话框中找到保存采样数据的文件,根据提示一步一步即可将数据导入。
这种方法适合于数据量较大,但又不是太大的数据。
第三种方法,使用文件读入命令。
数据文件读入命令有textread、fscanf、load等,如采样数据保存在txt文件中,则推荐使用 textread命令。
如[a,b]=textread('data.txt','%f%*f%f'); 这条命令将data.txt中保存的数据三个三个分组,将每组的第一个数据送给列向量a,第三个数送给列向量b,第二个数据丢弃。
命令类似于C语言,详细可查看其帮助文件。
文件读入命令录入采样数据可以处理任意大小的数据量,且录入速度相当快,一百多万的数据不到20秒即可录入。
2、对采样数据进行频谱分析 。
频谱分析自然要使用快速傅里叶变换FFT了,对应的命令即 fft ,简单使用方法为:Y=fft(b,N),其中b即是采样数据,N为fft数据采样个数。
一般不指定N,即简化为Y=fft(b)。
Y即为FFT变换后得到的结果,与b的元素数相等,为复数。
以频率为横坐标,Y数组每个元素的幅值为纵坐标,画图即得数据b的幅频特性;以频率为横坐标,Y数组每个元素的角度为纵坐标,画图即得数据b的相频特性。
典型频谱分析M程序举例如下: clc fs=100;t=[0:1/fs:100];N=length(t)-1;%减1使N为偶数 %频率分辨率F=1/t=fs/Np=1.3*sin(0.48*2*pi*t)+2.1*sin(0.52*2*pi*t)+1.1*sin(0.53*2*pi*t)... +0.5*sin(1.8*2*pi*t)+0.9*sin(2.2*2*pi*t);%上面模拟对信号进行采样,得到采样数据p,下面对p进行频谱分析figure(1) plot(t,p); grid ontitle('信号 p(t)'); xlabel('t') ylabel('p') Y=fft(p);magY=abs(Y(1:1:N/2))*2/N; f=(0:N/2-1)'*fs/N; figure(2)%plot(f,magY);h=stem(f,magY,'fill','--');set(h,'MarkerEdgeColor','red','Marker','*') grid ontitle('频谱图 (理想值:[0.48Hz,1.3]、[0.52Hz,2.1]、[0.53Hz,1.1]、[1.8Hz,0.5]、[2.2Hz,0.9]) '); xlabel('f (Hz)') ylabel('幅值')对于现实中的情况,采样频率fs一般都是由采样仪器决定的,即fs为一个给定的常数;另一方面,为了获得一定精度的频谱,对频率分辨率F有一个人为的规定,一般要求F100秒;由采样时间ts和采样频率fs即可决定采样数据量,即采样总点数N=fs*ts。
这就从理论上对采样时间ts和采样总点数N提出了要求,以保证频谱分析的精准度。
傅里叶变换为积分运算,那么反变换是微分运算吗?
展开全部 冈萨雷斯版里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。
当考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。
同样, 傅立叶变换能通过频率成分来分析一个函数。
Fourier theory讲的就是:任何信号(如图像信号)都可以表示成一系列正弦信号的叠加,在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。
比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码:频率f、幅值A、相位γ 这三个value可以描述正弦图像中的所有信息。
1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节,例如左图的frequency比右图的frequency低…… 2.幅值magnitude(amplitude) sin函数的幅值用于描述对比度,或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。
(一个负幅值表示一个对比逆转,即明暗交换。
) 3.相位表示相对于原始波形,这个波形的偏移量(左or右)。
================================================================= 一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码,他们的频率从0开始(即没有调整,相位为0,平均亮度处),到尼奎斯特频率(即数字图像中可被编码的最高频率,它和像素大小、resolution有关)。
傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码:一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值,峰值高度等于对应的振幅amplitude,或者正弦曲线信号的高度。
如下图所示。
DC term直流信号对应于频率为0的点,表示整幅图像的平均亮度,如果直流信号DC=0就表示整幅图像平均亮度的像素点个数=0,可推出灰度图中,正弦曲线在正负值之间交替变化,但是由于灰度图中没有负值,所以所有的真实图像都有一个正的DC term,如上图所示。
出于某些数学分析原因,经常把傅里叶变换用mirror-image表示,在原点的的两端,frequency都是增加的方向,具有相同的幅值。
上面讲的都是一维信号,一个二维傅里叶变换是一维傅里叶变换在每一个行扫描线和列扫描线上的傅里叶变换的叠加。
傅里叶谱图上的每一个像素点都代表一个频率值,幅值由像素点亮度变码而得。
最中心的亮点是指直流分量,傅里叶谱图中越亮的点,对应于灰度图中对比越强烈(对比度越大)的点。
由于每一列扫描线上没有变化,所以相应的fourier spectrum上行向量为0, 每一行扫描线上有contrast,所以有频率幅值。
这里频率比上面的小,相应的亮点比上副图也集中。
图像傅立叶变换的物理意义 傅里叶提出任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式,每个正弦和/或余弦乘以不同的系数(傅里叶级数)。
图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标,是灰度在平面空间上的梯度.在噪声点和图像边缘处的频率为高频。
傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义,设f是一个能量有限的模拟信号,则其傅立叶变换就表示f的谱。
从纯粹的数学意义上看,傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
从物理效果看,傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域,其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
换句话说,傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数,傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数. 傅立叶变换以前,图像(未压缩的位图)是由对在连续空间(现实空间)上的采样得到一系列点的集合,习惯用一个二维矩阵表示空间上各点,则图像可由z=f(x,y)来表示。
由于空间是三维的,图像是二维的,因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示,这样可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。
为什么要提梯度?因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图,就是图像梯度的分布图,当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系,即使在不移频的情况下也是没有。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点,实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱,即梯度的大小,也即该点的频率的大小(可以这么理解,图像中的低频部分指低梯度的点,高频部分相反)。
一般来讲,梯度大则该点的亮度强,否则该点亮度弱。
这样通过观察傅立叶变换后的频谱图,也叫功率图,首先就可以看出,图像的能量分布,如果频谱图中暗的点数更多,那么实际图像是比较柔和的(因为各点与邻域差异都不大,梯度相对较小),反之,如果频谱图中亮的点数多,那么实际图像一定是尖锐的,边界分明且边界两边像素差异较大的。
对频谱移频到原点以后,可以看出图像的频率分布是以原点为圆心,对称分布的。
将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外,还有一个好处,它可以分离出有周期性规律的干扰信号,比如正弦干扰,一副带有正弦干扰,移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心,对称分布的亮点集合,这个集合就是干扰噪音产生的,这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰. ...
证明两次傅里叶正变换等于原函数取反
两次正变换后,函数幅度变成原来的2派倍(其实这个系数可以无视,鄙人学过信号但学术不精,认为这个比例不会产生信号的差别,可以无视),然后,坐标轴正负对调。
ps:对于傅立叶变换,差不多忘关了,可以会会错题意,答非所问,还望谅解。